QAOA 量子近似优化算法¶

1. 算法简介¶

1.1 什么是 QAOA？¶

QAOA (Quantum Approximate Optimization Algorithm) 是一种用于解决组合优化问题的变分量子算法。

核心特点：

• 基于量子绝热定理
• 使用参数化量子电路
• 结合量子计算和经典优化
• 适用于 NQ-hard 问题

1.2 应用场景¶

QAOA 可以应用于多种组合优化问题：

• 最大割问题 (MaxCut): 将图的顶点分成两组，使得连接两组的边数最多
• 图着色问题: 用最少的颜色给图的顶点着色，使相邻顶点颜色不同
• 旅行商问题 (TSP): 找到访问所有城市的最短路径
• 背包问题: 在容量限制下选择物品使价值最大化
• 3-SAT 问题: 布尔可满足性问题

1.3 难度等级¶

⭐⭐⭐ 中级 (需要量子计算基础知识和优化理论理解)

---

2. 理论基础¶

2.1 QAOA 原理¶

QAOA 基于量子绝热定理的离散化版本。其核心思想是：

1. 绝热演化: 从易制备的基态出发，缓慢演化到目标哈密顿量的基态
2. Trotter 分解: 将连续的绝热演化离散化为多步量子门操作
3. 变分优化: 通过优化参数来近似最优解

2.2 QAOA 电路结构¶

QAOA 电路由以下部分组成：

初始态: |+⟩^⊗n (所有量子比特的叠加态)
    ↓
重复 p 层:
  1. 问题哈密顿量 U_C(γ) = exp(-iγH_C)
  2. 混合哈密顿量 U_B(β) = exp(-iβH_B)
    ↓
测量: 在 Z 基测量所有量子比特

2.3 哈密顿量¶

问题哈密顿量 (Cost Hamiltonian)¶

编码要解决的优化问题。对于最大割问题：

$$H_C = \frac{1}{2}\sum_{(i,j) \in E} w_{ij}(1 - Z_i Z_j)$$

其中 $w_{ij}$ 是边 $(i,j)$ 的权重。

混合哈密顿量 (Mixer Hamiltonian)¶

用于在解空间中探索：

$$H_B = \sum_{i=1}^n X_i$$

其中 $X_i$ 是作用在第 $i$ 个量子比特上的 Pauli-X 门。

2.4 参数优化¶

QAOA 的性能依赖于参数 $\vec{\gamma}, \vec{\beta}$ 的选择。优化过程：

1. 初始化参数 $\vec{\gamma}^{(0)}, \vec{\beta}^{(0)}$
2. 制备参数化态 $|\psi(\vec{\gamma}, \vec{\beta})\rangle$
3. 测量目标函数 $\langle H_C \rangle$
4. 使用经典优化器更新参数
5. 重复 2-4 直到收敛

常用优化器：

• Adam (自适应学习率)
• RMSprop (均方根传播)
• COBYLA (无梯度优化)
• SPSA (同时扰动随机逼近)

---

3. 实现部分¶

3.1 导入必要的库¶

In [ ]:

import deepquantum as dq
import torch
import torch.nn as nn
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from collections import defaultdict

# 设置随机种子以保证结果可复现
torch.manual_seed(42)
np.random.seed(42)

import deepquantum as dq import torch import torch.nn as nn import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np from collections import defaultdict # 设置随机种子以保证结果可复现 torch.manual_seed(42) np.random.seed(42)

3.2 定义 QAOA 类¶

我们创建一个 QAOA 类来实现量子近似优化算法：

In [ ]:

class QAOA(nn.Module):
    """
    QAOA (Quantum Approximate Optimization Algorithm) 实现
    
    参数:
        nqubit: 量子比特数量
        pairs: 相互作用的量子比特对列表
        coefs: 每个相互作用的权重
        step: QAOA 层数 (p)
    """
    def __init__(self, nqubit, pairs, coefs, step):
        super().__init__()
        self.nqubit = nqubit
        self.pairs = pairs
        self.coefs = torch.tensor(coefs)
        self.step = step
        
        # 定义可训练参数：gamma 和 beta
        # gamma: 问题哈密顿量的旋转角度
        # beta: 混合哈密顿量的旋转角度
        self.gamma = nn.Parameter(0.1 * torch.ones(step))
        self.beta = nn.Parameter(torch.ones(step))

        # 构建量子电路
        self.cir = dq.QubitCircuit(nqubit)
        
        # 初始化：将所有量子比特置于叠加态
        self.cir.hlayer()
        self.cir.barrier()
        
        # 构建 p 层 QAOA 电路
        for _ in range(step):
            # 问题哈密顿量 U_C(gamma)
            for wires in pairs:
                # 对于每条边，应用 CNOT-RZ-CNOT 实现 ZZ 相互作用
                self.cir.cnot(wires[0], wires[1])
                self.cir.rz(wires[1], encode=True)  # 编码模式，稍后注入参数
                self.cir.cnot(wires[0], wires[1])
            self.cir.barrier()
            
            # 混合哈密顿量 U_B(beta)
            for i in range(nqubit):
                self.cir.rx(i, encode=True)  # RX 旋转，稍后注入参数
            self.cir.barrier()
        
        # 设置可观测量的测量
        for wires in pairs:
            self.cir.observable(wires)

    @property
    def params(self):
        """构建完整的参数向量"""
        params = torch.empty(0)
        for i in range(self.step):
            # 计算第 i 层的参数
            gammas = 2 * self.gamma[i] * self.coefs
            betas = 2 * self.beta[i].repeat(self.nqubit)
            params = torch.cat([params, gammas, betas])
        return params

    def draw(self):
        """绘制量子电路图"""
        self.cir.encode(self.params)
        return self.cir.draw()

    def measure(self):
        """测量量子电路，返回测量结果统计"""
        return self.cir.measure()

    def forward(self):
        """
        前向传播：计算期望值（目标函数）
        
        返回:
            期望值（越小越好，因为是负的最大割值）
        """
        self.cir(self.params)
        return sum(self.coefs * self.cir.expectation())

class QAOA(nn.Module): """ QAOA (Quantum Approximate Optimization Algorithm) 实现 参数: nqubit: 量子比特数量 pairs: 相互作用的量子比特对列表 coefs: 每个相互作用的权重 step: QAOA 层数 (p) """ def __init__(self, nqubit, pairs, coefs, step): super().__init__() self.nqubit = nqubit self.pairs = pairs self.coefs = torch.tensor(coefs) self.step = step # 定义可训练参数：gamma 和 beta # gamma: 问题哈密顿量的旋转角度 # beta: 混合哈密顿量的旋转角度 self.gamma = nn.Parameter(0.1 * torch.ones(step)) self.beta = nn.Parameter(torch.ones(step)) # 构建量子电路 self.cir = dq.QubitCircuit(nqubit) # 初始化：将所有量子比特置于叠加态 self.cir.hlayer() self.cir.barrier() # 构建 p 层 QAOA 电路 for _ in range(step): # 问题哈密顿量 U_C(gamma) for wires in pairs: # 对于每条边，应用 CNOT-RZ-CNOT 实现 ZZ 相互作用 self.cir.cnot(wires[0], wires[1]) self.cir.rz(wires[1], encode=True) # 编码模式，稍后注入参数 self.cir.cnot(wires[0], wires[1]) self.cir.barrier() # 混合哈密顿量 U_B(beta) for i in range(nqubit): self.cir.rx(i, encode=True) # RX 旋转，稍后注入参数 self.cir.barrier() # 设置可观测量的测量 for wires in pairs: self.cir.observable(wires) @property def params(self): """构建完整的参数向量""" params = torch.empty(0) for i in range(self.step): # 计算第 i 层的参数 gammas = 2 * self.gamma[i] * self.coefs betas = 2 * self.beta[i].repeat(self.nqubit) params = torch.cat([params, gammas, betas]) return params def draw(self): """绘制量子电路图""" self.cir.encode(self.params) return self.cir.draw() def measure(self): """测量量子电路，返回测量结果统计""" return self.cir.measure() def forward(self): """ 前向传播：计算期望值（目标函数） 返回: 期望值（越小越好，因为是负的最大割值） """ self.cir(self.params) return sum(self.coefs * self.cir.expectation())

3.3 定义训练函数¶

In [ ]:

def trainer(model, epoch, lr, optimizer_type='Adam'):
    """
    训练 QAOA 模型
    
    参数:
        model: QAOA 模型
        epoch: 训练轮数
        lr: 学习率
        optimizer_type: 优化器类型 ('Adam', 'RMSprop')
    
    返回:
        trained_model: 训练好的模型
        metrics: 训练过程的损失记录
    """
    # 选择优化器
    if optimizer_type == 'Adam':
        optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=lr)
    elif optimizer_type == 'RMSprop':
        optimizer = torch.optim.RMSprop(
            model.parameters(), lr, alpha=0.99, eps=1e-08, 
            weight_decay=0, momentum=0, centered=False
        )
    else:
        raise ValueError(f"未知的优化器类型: {optimizer_type}")
    
    train_loss_list = []
    
    print(f"开始训练 (优化器: {optimizer_type}, 学习率: {lr})")
    print("-" * 60)
    
    for e in range(epoch):
        # 前向传播
        y_pred = model()
        loss = y_pred  # 损失函数就是期望值
        
        # 反向传播和参数更新
        optimizer.zero_grad()
        loss.backward(retain_graph=True)
        optimizer.step()
        
        # 记录损失
        train_loss_list.append(loss.detach().item())
        
        # 打印进度
        if (e + 1) % 10 == 0 or e == 0:
            print(f'轮次: {e+1:3d}/{epoch}, 损失: {loss.item():.6f}')
    
    print("-" * 60)
    print("训练完成！")
    
    metrics = {
        'epoch': list(range(1, len(train_loss_list) + 1)),
        'train_loss': train_loss_list
    }
    
    return model, metrics

def trainer(model, epoch, lr, optimizer_type='Adam'): """ 训练 QAOA 模型 参数: model: QAOA 模型 epoch: 训练轮数 lr: 学习率 optimizer_type: 优化器类型 ('Adam', 'RMSprop') 返回: trained_model: 训练好的模型 metrics: 训练过程的损失记录 """ # 选择优化器 if optimizer_type == 'Adam': optimizer = torch.optim.Adam(model.parameters(), lr=lr) elif optimizer_type == 'RMSprop': optimizer = torch.optim.RMSprop( model.parameters(), lr, alpha=0.99, eps=1e-08, weight_decay=0, momentum=0, centered=False ) else: raise ValueError(f"未知的优化器类型: {optimizer_type}") train_loss_list = [] print(f"开始训练 (优化器: {optimizer_type}, 学习率: {lr})") print("-" * 60) for e in range(epoch): # 前向传播 y_pred = model() loss = y_pred # 损失函数就是期望值 # 反向传播和参数更新 optimizer.zero_grad() loss.backward(retain_graph=True) optimizer.step() # 记录损失 train_loss_list.append(loss.detach().item()) # 打印进度 if (e + 1) % 10 == 0 or e == 0: print(f'轮次: {e+1:3d}/{epoch}, 损失: {loss.item():.6f}') print("-" * 60) print("训练完成！") metrics = { 'epoch': list(range(1, len(train_loss_list) + 1)), 'train_loss': train_loss_list } return model, metrics

3.4 定义问题：最大割问题¶

我们定义一个具体的最大割问题：

问题描述: 有若干个元素，它们如果放在一起，则两两之间有一定的矛盾值。求将它们分为两组，使总矛盾值最小。

In [ ]:

# 定义问题：每条边上的数字表示两个节点之间的矛盾值
# 目标：将节点分成两组，使得跨组的边权重之和最大
problem = {
    'Z0 Z4': 0.73, 'Z0 Z5': 0.33, 'Z0 Z6': 0.50,
    'Z1 Z4': 0.69, 'Z1 Z5': 0.36,
    'Z2 Z5': 0.88, 'Z2 Z6': 0.58,
    'Z3 Z5': 0.67, 'Z3 Z6': 0.43
}

# 解析问题，提取量子比特对和权重
pairs = []
coefs = []

for key, value in problem.items():
    temp = []
    for item in key.split():
        if item[0] == 'Z':
            temp.append(int(item[1:]))
    if len(temp) == 2:
        pairs.append(temp)
        coefs.append(value)

print('量子比特对:', pairs)
print('权重:', coefs)

# 问题参数
nqubit = 7    # 量子比特总数
step = 4      # QAOA 层数 (层数越高，理论上精度越高，但训练更困难)
lr = 0.01     # 学习率
epoch = 100   # 训练轮数

print(f"\n问题规模: {nqubit} 个量子比特, {len(pairs)} 条边")
print(f"QAOA 层数: {step}")

# 定义问题：每条边上的数字表示两个节点之间的矛盾值 # 目标：将节点分成两组，使得跨组的边权重之和最大 problem = { 'Z0 Z4': 0.73, 'Z0 Z5': 0.33, 'Z0 Z6': 0.50, 'Z1 Z4': 0.69, 'Z1 Z5': 0.36, 'Z2 Z5': 0.88, 'Z2 Z6': 0.58, 'Z3 Z5': 0.67, 'Z3 Z6': 0.43 } # 解析问题，提取量子比特对和权重 pairs = [] coefs = [] for key, value in problem.items(): temp = [] for item in key.split(): if item[0] == 'Z': temp.append(int(item[1:])) if len(temp) == 2: pairs.append(temp) coefs.append(value) print('量子比特对:', pairs) print('权重:', coefs) # 问题参数 nqubit = 7 # 量子比特总数 step = 4 # QAOA 层数 (层数越高，理论上精度越高，但训练更困难) lr = 0.01 # 学习率 epoch = 100 # 训练轮数 print(f"\n问题规模: {nqubit} 个量子比特, {len(pairs)} 条边") print(f"QAOA 层数: {step}")

3.5 创建并训练模型¶

In [ ]:

# 创建 QAOA 模型
qaoa_model = QAOA(nqubit, pairs, coefs, step)

print("模型结构:")
print(f"  - 量子比特数: {nqubit}")
print(f"  - QAOA 层数: {step}")
print(f"  - 可训练参数: {2 * step} 个 (gamma: {step} 个, beta: {step} 个)")
print(f"  - 总参数量: {sum(p.numel() for p in qaoa_model.parameters())}")

# 创建 QAOA 模型 qaoa_model = QAOA(nqubit, pairs, coefs, step) print("模型结构:") print(f" - 量子比特数: {nqubit}") print(f" - QAOA 层数: {step}") print(f" - 可训练参数: {2 * step} 个 (gamma: {step} 个, beta: {step} 个)") print(f" - 总参数量: {sum(p.numel() for p in qaoa_model.parameters())}")

In [ ]:

# 训练模型
trained_model, metrics = trainer(qaoa_model, epoch, lr, optimizer_type='Adam')

# 训练模型 trained_model, metrics = trainer(qaoa_model, epoch, lr, optimizer_type='Adam')

3.6 可视化训练过程¶

In [ ]:

# 绘制训练损失曲线
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(metrics['epoch'], metrics['train_loss'], 'b-', linewidth=2, label='训练损失')
plt.xlabel('训练轮次', fontsize=12)
plt.ylabel('损失 (目标函数值)', fontsize=12)
plt.title('QAOA 训练过程', fontsize=14, fontweight='bold')
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend(fontsize=11)
plt.tight_layout()
plt.show()

# 输出训练统计信息
final_loss = metrics['train_loss'][-1]
best_loss = min(metrics['train_loss'])
improvement = metrics['train_loss'][0] - final_loss

print("\n训练统计:")
print(f"  初始损失: {metrics['train_loss'][0]:.6f}")
print(f"  最终损失: {final_loss:.6f}")
print(f"  最佳损失: {best_loss:.6f}")
print(f"  改进幅度: {improvement:.6f}")

# 绘制训练损失曲线 plt.figure(figsize=(10, 6)) plt.plot(metrics['epoch'], metrics['train_loss'], 'b-', linewidth=2, label='训练损失') plt.xlabel('训练轮次', fontsize=12) plt.ylabel('损失 (目标函数值)', fontsize=12) plt.title('QAOA 训练过程', fontsize=14, fontweight='bold') plt.grid(True, alpha=0.3) plt.legend(fontsize=11) plt.tight_layout() plt.show() # 输出训练统计信息 final_loss = metrics['train_loss'][-1] best_loss = min(metrics['train_loss']) improvement = metrics['train_loss'][0] - final_loss print("\n训练统计:") print(f" 初始损失: {metrics['train_loss'][0]:.6f}") print(f" 最终损失: {final_loss:.6f}") print(f" 最佳损失: {best_loss:.6f}") print(f" 改进幅度: {improvement:.6f}")

3.7 测量和分析结果¶

In [ ]:

# 执行测量
measurement_results = trained_model.measure()

print("\n测量结果 (前20个):")
print("-" * 60)
for i, (state, count) in enumerate(list(measurement_results.items())[:20]):
    percentage = count / sum(measurement_results.values()) * 100
    print(f"  状态 {state}: {count:4d} 次 ({percentage:5.2f}%)")

# 找到最优解
max_count = max(measurement_results.values())
best_states = [state for state, count in measurement_results.items() 
               if count == max_count]

print("\n" + "=" * 60)
print("最优解:")
print("=" * 60)
for state in best_states:
    print(f"  最佳分割方案: {state}")
    print(f"  出现次数: {max_count}")
    
    # 解析分割方案
    group0 = [i for i, bit in enumerate(state[::-1]) if bit == '0']
    group1 = [i for i, bit in enumerate(state[::-1]) if bit == '1']
    print(f"  组0: {group0}")
    print(f"  组1: {group1}")
    
    # 计算目标函数值
    obj_value = 0
    for (i, j), coef in zip(pairs, coefs):
        if state[::-1][i] != state[::-1][j]:  # 跨组
            obj_value += coef
    print(f"  目标函数值: {obj_value:.6f}")

# 执行测量 measurement_results = trained_model.measure() print("\n测量结果 (前20个):") print("-" * 60) for i, (state, count) in enumerate(list(measurement_results.items())[:20]): percentage = count / sum(measurement_results.values()) * 100 print(f" 状态 {state}: {count:4d} 次 ({percentage:5.2f}%)") # 找到最优解 max_count = max(measurement_results.values()) best_states = [state for state, count in measurement_results.items() if count == max_count] print("\n" + "=" * 60) print("最优解:") print("=" * 60) for state in best_states: print(f" 最佳分割方案: {state}") print(f" 出现次数: {max_count}") # 解析分割方案 group0 = [i for i, bit in enumerate(state[::-1]) if bit == '0'] group1 = [i for i, bit in enumerate(state[::-1]) if bit == '1'] print(f" 组0: {group0}") print(f" 组1: {group1}") # 计算目标函数值 obj_value = 0 for (i, j), coef in zip(pairs, coefs): if state[::-1][i] != state[::-1][j]: # 跨组 obj_value += coef print(f" 目标函数值: {obj_value:.6f}")

3.8 绘制量子电路¶

In [ ]:

# 绘制训练后的量子电路
print("\n量子电路结构:")
print("-" * 60)
circuit_diagram = trained_model.draw()
print(circuit_diagram)

# 绘制训练后的量子电路 print("\n量子电路结构:") print("-" * 60) circuit_diagram = trained_model.draw() print(circuit_diagram)

3.9 结果可视化¶

In [ ]:

# 统计测量结果
sorted_results = sorted(measurement_results.items(), 
                       key=lambda x: x[1], reverse=True)
states = [item[0] for item in sorted_results[:15]]
counts = [item[1] for item in sorted_results[:15]]

# 绘制测量结果柱状图
plt.figure(figsize=(14, 6))
bars = plt.bar(range(len(states)), counts, color='steelblue', alpha=0.7)
plt.xlabel('量子态', fontsize=12)
plt.ylabel('测量次数', fontsize=12)
plt.title('QAOA 测量结果分布 (前15个)', fontsize=14, fontweight='bold')
plt.xticks(range(len(states)), states, rotation=45)
plt.grid(axis='y', alpha=0.3)

# 标记最优解
for i, (state, count) in enumerate(zip(states, counts)):
    if state in best_states:
        bars[i].set_color('red')
        bars[i].set_alpha(0.8)
        plt.text(i, count, ' 最优', ha='center', va='bottom', fontsize=10)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 绘制饼图
plt.figure(figsize=(10, 8))
top_states = states[:10]
top_counts = counts[:10]
other_count = sum(measurement_results.values()) - sum(top_counts)

labels = top_states + ['其他']
sizes = top_counts + [other_count]
colors = plt.cm.Set3(range(len(labels)))

plt.pie(sizes, labels=labels, autopct='%1.1f%%', colors=colors, startangle=90)
plt.title('测量结果分布 (饼图)', fontsize=14, fontweight='bold')
plt.axis('equal')
plt.tight_layout()
plt.show()

# 统计测量结果 sorted_results = sorted(measurement_results.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True) states = [item[0] for item in sorted_results[:15]] counts = [item[1] for item in sorted_results[:15]] # 绘制测量结果柱状图 plt.figure(figsize=(14, 6)) bars = plt.bar(range(len(states)), counts, color='steelblue', alpha=0.7) plt.xlabel('量子态', fontsize=12) plt.ylabel('测量次数', fontsize=12) plt.title('QAOA 测量结果分布 (前15个)', fontsize=14, fontweight='bold') plt.xticks(range(len(states)), states, rotation=45) plt.grid(axis='y', alpha=0.3) # 标记最优解 for i, (state, count) in enumerate(zip(states, counts)): if state in best_states: bars[i].set_color('red') bars[i].set_alpha(0.8) plt.text(i, count, ' 最优', ha='center', va='bottom', fontsize=10) plt.tight_layout() plt.show() # 绘制饼图 plt.figure(figsize=(10, 8)) top_states = states[:10] top_counts = counts[:10] other_count = sum(measurement_results.values()) - sum(top_counts) labels = top_states + ['其他'] sizes = top_counts + [other_count] colors = plt.cm.Set3(range(len(labels))) plt.pie(sizes, labels=labels, autopct='%1.1f%%', colors=colors, startangle=90) plt.title('测量结果分布 (饼图)', fontsize=14, fontweight='bold') plt.axis('equal') plt.tight_layout() plt.show()

---

4. 算法分析与讨论¶

4.1 QAOA 的优势¶

1. 理论保证: 基于量子绝热定理，有理论基础
2. 灵活性: 可以应用于各种组合优化问题
3. 可扩展: 通过增加层数 p 提高精度
4. 混合架构: 结合量子计算和经典优化

4.2 QAOA 的挑战¶

1. 优化困难: 参数优化可能陷入局部最优
2. 噪声敏感: 当前量子设备的噪声影响性能
3. 资源需求: 需要较深的量子电路
4. 经典模拟: 经典模拟的资源消耗随量子比特数指数增长

4.3 实用建议¶

参数初始化¶

# 不同的初始化策略
gamma = 0.1 * torch.ones(step)  # 小值初始化
beta = torch.ones(step)         # 单位初始化

# 或使用随机初始化
gamma = torch.rand(step) * 0.1
beta = torch.rand(step) * np.pi

层数选择¶

• p=1: 快速但精度较低，适合初步探索
• p=2-3: 平衡性能和计算成本
• p≥4: 更高精度，但优化困难

优化器选择¶

• Adam: 适合大多数情况，收敛稳定
• RMSprop: 适合非平稳目标
• COBYLA: 无梯度优化，适合真实量子设备

---

5. 进阶应用¶

5.1 最大割问题的不同实例¶

In [ ]:

# 示例：一个简单的 4 节点图
def solve_maxcut_example(problem_dict, nqubits, step=2, epochs=50, lr=0.01):
    """
    通用的 MaxCut 求解函数
    
    参数:
        problem_dict: 问题字典 {'Zi Zj': weight, ...}
        nqubits: 量子比特数
        step: QAOA 层数
        epochs: 训练轮数
        lr: 学习率
    
    返回:
        trained_model: 训练好的模型
        results: 测量结果
    """
    # 解析问题
    pairs = []
    coefs = []
    for key, value in problem_dict.items():
        temp = []
        for item in key.split():
            if item[0] == 'Z':
                temp.append(int(item[1:]))
        if len(temp) == 2:
            pairs.append(temp)
            coefs.append(value)
    
    # 创建并训练模型
    model = QAOA(nqubits, pairs, coefs, step)
    trained_model, _ = trainer(model, epochs, lr)
    
    # 测量结果
    results = trained_model.measure()
    
    return trained_model, results

# 示例：正方形图 (4个节点，4条边)
square_problem = {
    'Z0 Z1': 1.0, 'Z1 Z2': 1.0,
    'Z2 Z3': 1.0, 'Z3 Z0': 1.0
}

print("示例：正方形图的最大割")
print("=" * 60)
model_square, results_square = solve_maxcut_example(
    square_problem, nqubits=4, step=2, epochs=50, lr=0.01
)

# 显示最优解
best_state = max(results_square, key=results_square.get)
print(f"\n最优解: {best_state}")
print(f"出现次数: {results_square[best_state]}")

# 示例：一个简单的 4 节点图 def solve_maxcut_example(problem_dict, nqubits, step=2, epochs=50, lr=0.01): """ 通用的 MaxCut 求解函数 参数: problem_dict: 问题字典 {'Zi Zj': weight, ...} nqubits: 量子比特数 step: QAOA 层数 epochs: 训练轮数 lr: 学习率 返回: trained_model: 训练好的模型 results: 测量结果 """ # 解析问题 pairs = [] coefs = [] for key, value in problem_dict.items(): temp = [] for item in key.split(): if item[0] == 'Z': temp.append(int(item[1:])) if len(temp) == 2: pairs.append(temp) coefs.append(value) # 创建并训练模型 model = QAOA(nqubits, pairs, coefs, step) trained_model, _ = trainer(model, epochs, lr) # 测量结果 results = trained_model.measure() return trained_model, results # 示例：正方形图 (4个节点，4条边) square_problem = { 'Z0 Z1': 1.0, 'Z1 Z2': 1.0, 'Z2 Z3': 1.0, 'Z3 Z0': 1.0 } print("示例：正方形图的最大割") print("=" * 60) model_square, results_square = solve_maxcut_example( square_problem, nqubits=4, step=2, epochs=50, lr=0.01 ) # 显示最优解 best_state = max(results_square, key=results_square.get) print(f"\n最优解: {best_state}") print(f"出现次数: {results_square[best_state]}")

5.2 与经典算法对比¶

In [ ]:

# 经典贪心算法求解 MaxCut
def classical_maxcut_greedy(problem, nqubit):
    """
    经典贪心算法求解 MaxCut
    
    参数:
        problem: 问题字典
        nqubit: 节点数
    
    返回:
        best_cut: 最优分割
        best_value: 最优值
    """
    # 解析问题
    edges = []
    weights = []
    for key, value in problem.items():
        temp = []
        for item in key.split():
            if item[0] == 'Z':
                temp.append(int(item[1:]))
        if len(temp) == 2:
            edges.append(temp)
            weights.append(value)
    
    best_cut = '0' * nqubit
    best_value = 0
    
    # 贪心算法：随机初始化，然后局部优化
    for _ in range(10):
        cut = np.random.randint(0, 2, nqubit)
        improved = True
        
        while improved:
            improved = False
            for i in range(nqubit):
                current_value = sum(
                    w for (a, b), w in zip(edges, weights) 
                    if cut[a] != cut[b]
                )
                cut[i] = 1 - cut[i]
                new_value = sum(
                    w for (a, b), w in zip(edges, weights) 
                    if cut[a] != cut[b]
                )
                if new_value <= current_value:
                    cut[i] = 1 - cut[i]  # 恢复
                else:
                    improved = True
        
        value = sum(
            w for (a, b), w in zip(edges, weights) 
            if cut[a] != cut[b]
        )
        
        if value > best_value:
            best_value = value
            best_cut = ''.join(map(str, cut))
    
    return best_cut, best_value

# 对比 QAOA 和经典算法
print("\n算法对比")
print("=" * 60)

# 使用之前的问题
classical_cut, classical_value = classical_maxcut_greedy(problem, nqubit)
print(f"经典贪心算法:")
print(f"  最优解: {classical_cut}")
print(f"  目标值: {classical_value:.6f}")

# QAOA 结果
qaoa_cut = max(measurement_results, key=measurement_results.get)
qaoa_value = 0
for (i, j), coef in zip(pairs, coefs):
    if qaoa_cut[::-1][i] != qaoa_cut[::-1][j]:
        qaoa_value += coef

print(f"\nQAOA 算法:")
print(f"  最优解: {qaoa_cut}")
print(f"  目标值: {qaoa_value:.6f}")
print(f"  概率: {measurement_results[qaoa_cut] / sum(measurement_results.values()) * 100:.2f}%")

print(f"\n性能比: {qaoa_value / classical_value:.2%}")

# 经典贪心算法求解 MaxCut def classical_maxcut_greedy(problem, nqubit): """ 经典贪心算法求解 MaxCut 参数: problem: 问题字典 nqubit: 节点数 返回: best_cut: 最优分割 best_value: 最优值 """ # 解析问题 edges = [] weights = [] for key, value in problem.items(): temp = [] for item in key.split(): if item[0] == 'Z': temp.append(int(item[1:])) if len(temp) == 2: edges.append(temp) weights.append(value) best_cut = '0' * nqubit best_value = 0 # 贪心算法：随机初始化，然后局部优化 for _ in range(10): cut = np.random.randint(0, 2, nqubit) improved = True while improved: improved = False for i in range(nqubit): current_value = sum( w for (a, b), w in zip(edges, weights) if cut[a] != cut[b] ) cut[i] = 1 - cut[i] new_value = sum( w for (a, b), w in zip(edges, weights) if cut[a] != cut[b] ) if new_value <= current_value: cut[i] = 1 - cut[i] # 恢复 else: improved = True value = sum( w for (a, b), w in zip(edges, weights) if cut[a] != cut[b] ) if value > best_value: best_value = value best_cut = ''.join(map(str, cut)) return best_cut, best_value # 对比 QAOA 和经典算法 print("\n算法对比") print("=" * 60) # 使用之前的问题 classical_cut, classical_value = classical_maxcut_greedy(problem, nqubit) print(f"经典贪心算法:") print(f" 最优解: {classical_cut}") print(f" 目标值: {classical_value:.6f}") # QAOA 结果 qaoa_cut = max(measurement_results, key=measurement_results.get) qaoa_value = 0 for (i, j), coef in zip(pairs, coefs): if qaoa_cut[::-1][i] != qaoa_cut[::-1][j]: qaoa_value += coef print(f"\nQAOA 算法:") print(f" 最优解: {qaoa_cut}") print(f" 目标值: {qaoa_value:.6f}") print(f" 概率: {measurement_results[qaoa_cut] / sum(measurement_results.values()) * 100:.2f}%") print(f"\n性能比: {qaoa_value / classical_value:.2%}")

5.3 参数敏感性分析¶

In [ ]:

# 分析不同 QAOA 层数的影响
print("\nQAOA 层数影响分析")
print("=" * 60)

steps = [1, 2, 3, 4]
results_by_steps = []

for step in steps:
    print(f"\n训练 p={step} 的 QAOA 模型...")
    model = QAOA(nqubit, pairs, coefs, step)
    trained_model, metrics = trainer(model, epoch=50, lr=0.01)
    
    results = trained_model.measure()
    best_state = max(results, key=results.get)
    best_value = -metrics['train_loss'][-1]
    
    results_by_steps.append({
        'step': step,
        'best_state': best_state,
        'best_value': best_value,
        'probability': results[best_state] / sum(results.values())
    })
    
    print(f"  最优值: {best_value:.6f}")
    print(f"  概率: {results[best_state] / sum(results.values()) * 100:.2f}%")

# 可视化
plt.figure(figsize=(12, 5))

plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot([r['step'] for r in results_by_steps], 
         [r['best_value'] for r in results_by_steps], 
         'o-', linewidth=2, markersize=8)
plt.xlabel('QAOA 层数 p', fontsize=12)
plt.ylabel('目标函数值', fontsize=12)
plt.title('层数 vs 性能', fontsize=13, fontweight='bold')
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot([r['step'] for r in results_by_steps], 
         [r['probability'] for r in results_by_steps], 
         's-', linewidth=2, markersize=8, color='orange')
plt.xlabel('QAOA 层数 p', fontsize=12)
plt.ylabel('最优解概率', fontsize=12)
plt.title('层数 vs 概率', fontsize=13, fontweight='bold')
plt.grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.show()

# 分析不同 QAOA 层数的影响 print("\nQAOA 层数影响分析") print("=" * 60) steps = [1, 2, 3, 4] results_by_steps = [] for step in steps: print(f"\n训练 p={step} 的 QAOA 模型...") model = QAOA(nqubit, pairs, coefs, step) trained_model, metrics = trainer(model, epoch=50, lr=0.01) results = trained_model.measure() best_state = max(results, key=results.get) best_value = -metrics['train_loss'][-1] results_by_steps.append({ 'step': step, 'best_state': best_state, 'best_value': best_value, 'probability': results[best_state] / sum(results.values()) }) print(f" 最优值: {best_value:.6f}") print(f" 概率: {results[best_state] / sum(results.values()) * 100:.2f}%") # 可视化 plt.figure(figsize=(12, 5)) plt.subplot(1, 2, 1) plt.plot([r['step'] for r in results_by_steps], [r['best_value'] for r in results_by_steps], 'o-', linewidth=2, markersize=8) plt.xlabel('QAOA 层数 p', fontsize=12) plt.ylabel('目标函数值', fontsize=12) plt.title('层数 vs 性能', fontsize=13, fontweight='bold') plt.grid(True, alpha=0.3) plt.subplot(1, 2, 2) plt.plot([r['step'] for r in results_by_steps], [r['probability'] for r in results_by_steps], 's-', linewidth=2, markersize=8, color='orange') plt.xlabel('QAOA 层数 p', fontsize=12) plt.ylabel('最优解概率', fontsize=12) plt.title('层数 vs 概率', fontsize=13, fontweight='bold') plt.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show()

---

6. 总结与展望¶

6.1 关键要点¶

1. QAOA 核心思想:

   • 使用交替的问题哈密顿量和混合哈密顿量
   • 通过变分优化找到近似最优解

2. 实现要素:

   • 参数化量子电路 (ansatz)
   • 目标函数定义 (期望值计算)
   • 经典优化器 (参数更新)

3. 性能优化:

   • 合理选择 QAOA 层数
   • 适当的参数初始化
   • 选择合适的优化器

6.2 实际应用建议¶

• 小规模问题: 使用经典模拟器验证算法
• 中等规模: 考虑使用 NISQ 设备
• 大规模: 需要错误缓解和纠错技术

6.3 未来发展方向¶

1. 算法改进:

   • 自适应 QAOA
   • 多角度 QAOA
   • 问题启发式 ansatz

2. 硬件优化:

   • 噪声缓解技术
   • 设备特定编译
   • 量子错误纠正

3. 应用拓展:

   • 机器学习优化
   • 金融组合优化
   • 物流调度

6.4 参考资料¶

1. 原始论文:

   • Farhi et al., "A Quantum Approximate Optimization Algorithm" (2014)

2. 教材:

   • Nielsen & Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information"
   • Marinescu & Marinescu, "Approaching Quantum Computing"

3. 在线资源:

   • Qiskit Textbook: QAOA 章节
   • PennyLane Tutorials

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7. 练习题¶

练习 1: 修改问题实例¶

尝试定义一个不同的最大割问题（不同的图结构），并使用 QAOA 求解。

练习 2: 实验不同层数¶

比较 p=1, 2, 3, 5 的性能差异。讨论层数增加的影响。

练习 3: 尝试不同优化器¶

使用不同的优化器（RMSprop, SGD 等）并比较收敛速度和最终结果。

练习 4: 实现图着色问题¶

修改代码以解决 3-着色问题（用 3 种颜色给图着色）。

练习 5: 分析参数景观¶

可视化目标函数关于参数 γ 和 β 的变化，了解优化难点。

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祝你学习愉快！如有问题，欢迎交流讨论。