Table of contents

噪声模型存在的意义？
噪声模型有哪些呢？
噪声模型在量子电路模拟中的实现机制解析
振幅衰减与相位衰减噪声信道解析
相干误差（Coherent Errors）的噪声模型
泄漏噪声模型
- 泄漏噪声的数学表达
- 泄漏的物理成因
串扰误差
相关时间噪声模型（Correlated Temporal Noise）
噪声的由浅入深
qibo噪声模型

噪声模型存在的意义？ ↑¶

理解与表征NISQ设备（当前阶段）¶

当前的量子计算机均存在噪声（即NISQ：嘈杂中等规模量子计算机）。在经典计算机上模拟噪声，能帮助研究人员预测真实量子硬件的运行表现——因为仅模拟无噪声的理想状态会产生误导。
这一过程的作用包括：
- 在真实硬件上运行算法前，对算法进行基准测试（性能评估）。
- 识别对噪声最敏感的量子门或量子电路。
- 估算算法的实际运行性能、保真度（量子态保持准确性的程度）与成功概率。

✅ 这在当前阶段具有极高的实用性，因为如今我们使用的几乎所有量子硬件都存在噪声。

量子误差校正（QEC）与误差缓解技术的设计与测试 ¶

噪声模型能让研究人员在模拟环境中对误差校正码进行压力测试。
它提供了一个可控环境，用于：
- 对比不同类型的误差校正码（如表面码、培根-肖尔码、低密度奇偶校验码）。
- 研究不同噪声过程（退相干、去极化、振幅衰减、关联噪声）对量子误差校正性能的影响。
- 优化“ Syndrome 提取”（检测量子态误差的过程）与解码策略。
类似地，对于误差缓解技术（无需完整的量子误差校正），噪声模型有助于设计零噪声外推、概率性误差抵消等实用方案。

✅ 这对构建可扩展、容错的量子计算机至关重要——但要有效设计这些校正码，我们首先需要噪声模型。

硬件开发与校准 ¶

噪声模型可捕捉特定设备的缺陷（如串扰、泄漏、量子门校准误差）。
通过对比“模拟噪声”与“真实设备运行表现”，硬件工程师能够：
- 定位误差来源。
- 为芯片设计、量子门实现与控制电子元件的改进提供指导。

算法与应用开发 ¶

不同算法对噪声的耐受度不同。结合噪声的模拟能帮助研究人员判断：
- 哪些量子算法在近期设备上具有可行性。
- 算法要展现出“量子优势”（量子计算机优于经典计算机的性能），需要达到何种保真度水平。
例如：变分量子算法可能对部分噪声有耐受性，而肖尔算法（用于大数分解）则需要完全的容错能力。

那么，噪声模型的最重要作用是什么？¶

在当前阶段，噪声模型最关键的作用是对NISQ设备进行真实模拟，具体支撑：

算法在硬件运行前的基准测试与验证。
为实现容错量子计算做准备的误差缓解与误差校正策略的设计和测试。

换句话说：

短期（当下）：噪声模型帮助我们理解并利用当前的嘈杂硬件。
长期（未来）：噪声模型是设计与测试可扩展量子误差校正技术不可或缺的工具。

噪声模型有哪些呢？¶

噪声模型	数学表达式（信道）	物理意义	支持的模拟器
退极化噪声	$\mathcal{E}(\rho) = (1-p)\rho + \tfrac{p}{3}(X\rho X + Y\rho Y + Z\rho Z)$	以概率$p$发生随机泡利误差（对称）。模拟均匀随机噪声。	Qiskit、Cirq、Stim
泡利信道	$\mathcal{E}(\rho) = (1-p_x-p_y-p_z)\rho + p_x X\rho X + p_y Y\rho Y + p_z Z\rho Z$	退极化噪声的推广形式。允许存在偏置误差（例如，$Z$主导的消相过程）。	Qiskit、Cirq、Stim、PyMatching
消相（相位翻转）	$\mathcal{E}(\rho) = (1-p)\rho + p Z\rho Z$	量子相位相干性的丧失（$T_2$过程）。在超导和离子阱量子比特中常见。	Qiskit、Cirq、Qutip
振幅衰减	克劳斯算符：$E_0=\begin{bmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-p}\end{bmatrix}, \; E_1=\begin{bmatrix}0&\sqrt{p}\\0&0\end{bmatrix}$	能量弛豫（$T_1$衰减）：以概率$p$发生 $\vert 1⟩ \to \vert 0⟩$ 的跃迁。	Qiskit、Cirq、Qutip
相位衰减	克劳斯算符：$E_0=\begin{bmatrix}1&0\\0&\sqrt{1-p}\end{bmatrix}, \; E_1=\begin{bmatrix}0&0\\0&\sqrt{p}\end{bmatrix}$	无能量损失的纯退相干（相位记忆丢失）。	Qiskit、Cirq、Qutip
相干误差	$\rho \mapsto U_{\delta} \rho U_{\delta}^\dagger$，其中$U_{\delta} = e^{-i(H+\delta H)t}$	门操作校准偏差（例如，旋转角度过大或过小）。与随机噪声的累积方式不同。	Cirq、Qutip
泄漏误差	$\rho \mapsto (1-p)\rho + p \vert 2\rangle\langle 2 \vert $（超出二维希尔伯特空间）	粒子数泄漏到非计算能级（例如，传输子量子比特的$\vert 2⟩$态）。	Qiskit、Cirq（自定义）、Qutip
串扰	$\rho \mapsto \text{量子比特间的关联误差（如多量子比特泡利算符）}$	驱动一个量子比特时对邻近量子比特产生的误差。在超导/离子阱系统中较显著。	Qiskit（自定义）、Cirq
关联/非马尔可夫噪声	含记忆核的主方程：$\dot{\rho}(t) = \int_0^t K(t-s)\rho(s) ds$	具有时间相关性的噪声（漂移、1/f噪声）。	Qutip
读出误差	经典信道：$\Pr(\text{测量结果 } x \vert \text{实际结果 } y) $	测量时的比特翻转或偏置（例如，误报“1”而非“0”）。	Qiskit、Cirq
林德布拉德主方程	$\dot{\rho} = -i[H,\rho] + \sum_i \gamma_i \big(L_i \rho L_i^\dagger - \tfrac{1}{2}\{L_i^\dagger L_i,\rho\}\big)$	通用的马尔可夫开放量子系统模型（涵盖弛豫、消相等过程）。	Qutip、Qiskit Dynamics

噪声模型在量子电路模拟中的实现机制解析 ¶

🔹 1. 退极化噪声（Depolarizing Noise）¶

数学信道表达式 ¶

$$ \mathcal{E}(\rho) = (1-p)\rho + \frac{p}{3}\big(X\rho X + Y\rho Y + Z\rho Z\big) $$

物理意义 ¶

以概率$1-p$：量子态保持不变。
以概率$p$：量子态被随机施加的泡利误差（$X$、$Y$、$Z$算符）替换。
该模型模拟量子比特“遗忘”自身状态、向完全混合态趋近的过程。

在电路中的实现 ¶

通常在每个门操作之后添加，用于表征门操作的不完善性。
也可按时间步添加（用于模拟量子比特闲置时的退相干）。

真实硬件对应机制 ¶

不存在与退极化噪声完全吻合的物理噪声。
它是一种对称化模型：核心假设是“若所有泡利误差发生概率均等，会产生怎样的效果？”。
被广泛使用的原因是其数学形式简洁，且能为纠错码（如表面码，阈值约1%）设定清晰的误差阈值。

🔹 2. 泡利信道（Pauli Channel，退极化噪声的推广形式）¶

数学信道表达式 ¶

$$ \mathcal{E}(\rho) = (1-p_x-p_y-p_z)\rho + p_x X\rho X + p_y Y\rho Y + p_z Z\rho Z $$

物理意义 ¶

每种泡利误差（$X$、$Y$、$Z$）都有独立的发生概率（$p_x$、$p_y$、$p_z$）。
可表征偏置噪声，例如：
- 在超导量子比特中，消相（$Z$）误差占主导地位。
- 在部分光子系统中，比特翻转（$X$）误差更为常见。

在电路中的实现 ¶

与退极化噪声类似，通常在每个门操作后插入，用于模拟门噪声。
也可在量子比特闲置期间添加，以模拟背景退相干过程。

真实硬件对应机制 ¶

比退极化噪声更贴近实际硬件——因为硬件通常存在误差不对称性（例如，$p_z \gg p_x,p_y$）。
对设计偏置噪声纠错码（如XZZX表面码）具有重要意义。

🔹 3. 消相（相位翻转）噪声（Dephasing Noise）¶

数学信道表达式 ¶

$$ \mathcal{E}(\rho) = (1-p)\rho + p Z\rho Z $$

物理意义 ¶

以概率$p$，量子比特发生$Z$翻转（附加π相位）。
不改变粒子数分布（$|0⟩$仍为$|0⟩$，$|1⟩$仍为$|1⟩$）。
仅破坏$|0⟩$与$|1⟩$之间的相干性。
用于模拟 $T_2$退相干（相位记忆丢失）过程。

在电路中的实现 ¶

常在量子比特闲置期间添加（即量子比特等待操作时）。
若已知某门操作会引入相位噪声，也可在该门操作后添加。

真实硬件对应机制 ¶

高度贴合物理实际：磁场/电场的随机波动会导致量子比特相位随机累积。
在超导量子比特中尤为关键（受磁通噪声、电荷噪声影响显著）。

🔹 噪声是否“在每个门操作后添加”？¶

✅ 在模拟器中，最常用的实现方式确实如此：

在每个门操作后插入噪声信道（用于模拟门操作的不完善性）。
可选操作：按单位闲置时间插入噪声信道（用于模拟量子比特等待期间的退相干）。

这种方式与硬件中误差的累积规律一致：

门操作本身不完美 → 需添加与门相关的噪声。
量子比特即使闲置也会退相干 → 需添加与时间相关的噪声。
测量过程存在误差 → 需在电路末尾添加读出噪声信道。

示例（Qiskit Aer代码）¶

from qiskit_aer.noise import NoiseModel, depolarizing_error

# 创建概率p=0.01的退极化误差
error = depolarizing_error(0.01, 1)  # 1表示单量子比特退极化误差
noise_model = NoiseModel()
# 在u1、u2、u3门操作后添加该退极化误差
noise_model.add_all_qubit_quantum_error(error, ['u1','u2','u3'])

✅ 总结 ¶

退极化噪声：使量子态随机化（理想化、对称模型）。
泡利信道：更具通用性，允许误差概率不对称（贴合偏置噪声的实际场景）。
消相噪声：仅破坏相位相干性，不改变粒子数分布（模拟$T_2$退相干）。
电路中的实现机制：通常在每个门操作后（门噪声）和量子比特闲置期间（退相干）添加。

In [2]:

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from IPython.display import Image, display

# 显示图片
display(Image(filename='noise_injection_nodes_schematic.png'))
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# 显示图片
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振幅衰减与相位衰减噪声信道解析 ¶

振幅衰减（Amplitude Damping） 和相位衰减（Phase Damping） 是最贴合物理实际的两种量子噪声信道，因为它们几乎直接对应真实量子比特中已被深入研究的退相干过程。下面我们将逐步展开讲解：

🔹 1. 振幅衰减（Amplitude Damping, AD）¶

物理本质 ¶

模拟能量弛豫过程（$T_1$ 过程）：激发态 $|1⟩$ 通过向环境释放能量，衰减到基态 $|0⟩$。
物理成因：
- 自发光子辐射（超导电路、原子、光子量子比特中均存在）。
- 与声子库耦合（离子阱量子比特、固态量子比特中常见）。
随时间推移，$|1⟩$ 态“泄漏”到 $|0⟩$ 态的概率会逐渐增加。

数学形式（克劳斯算符）¶

$$ E_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-p} \end{bmatrix}, \quad E_1 = \begin{bmatrix} 0 & \sqrt{p} \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$ 其中，$p = 1 - e^{-t/T_1}$ 表示在时间 $t$ 内发生弛豫的概率（$T_1$ 为弛豫时间）。

信道作用过程： $$ \mathcal{E}(\rho) = E_0 \rho E_0^\dagger + E_1 \rho E_1^\dagger $$ 计算结果为： $$ \boxed{\mathcal{E}(\rho) = \begin{bmatrix} \rho_{00} + p \, \rho_{11} & \sqrt{1-p} \, \rho_{01} \\ \sqrt{1-p} \, \rho_{01}^* & (1-p) \rho_{11} \end{bmatrix}} $$

电路实现方式 ¶

在模拟器（Qiskit、Cirq 等）中以噪声信道形式添加，具体场景包括：
- 门操作后（模拟门操作期间的能量损失）。
- 量子比特闲置期间（量子比特自然衰减）。
该过程非幺正（无法用简单量子门表示），其物理本质是量子比特与环境发生耦合。

示例（Qiskit Aer 代码）¶

from qiskit_aer.noise.errors import amplitude_damping_error
error = amplitude_damping_error(0.1)  # 弛豫概率为0.1的振幅衰减噪声

🔹 2. 相位衰减（Phase Damping, PD）¶

物理本质 ¶

模拟无能量损失的量子相位相干性丧失过程（$T_2$ 过程）。
基态 $|0⟩$ 和激发态 $|1⟩$ 的粒子数分布保持不变，但密度矩阵中的非对角元会逐渐衰减。
物理成因：
- 波动电磁场（导致量子比特受到随机相位冲击）。
- 超导电路中的1/f 噪声（闪烁噪声）。
- 离子阱、氮-空位（NV）中心中的磁场噪声。

数学形式（克劳斯算符）¶

$$ E_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{1-p} \end{bmatrix}, \quad E_1 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{p} \end{bmatrix} $$ 其中，$p = 1 - e^{-t/T_2}$（$T_2$ 为相位弛豫时间）。

信道作用过程： $$ \mathcal{E}(\rho) = (1-p)\rho + p Z\rho Z $$

对密度矩阵的影响： $$ \rho = \begin{bmatrix} \rho_{00} & \rho_{01} \\ \rho_{10} & \rho_{11} \end{bmatrix} \quad \mapsto \quad \begin{bmatrix} \rho_{00} & (1-p)\rho_{01} \\ (1-p)\rho_{10} & \rho_{11} \end{bmatrix} $$ → 非对角元衰减，粒子数分布（对角元）保持不变。

电路实现方式 ¶

以噪声信道形式添加，具体场景包括：
- 量子比特闲置期间（相位记忆丢失）。
- 门操作后（若门操作会引入相位噪声）。

示例（Qiskit Aer 代码）¶

from qiskit_aer.noise.errors import phase_damping_error
error = phase_damping_error(0.05)  # 相位衰减概率为0.05的相位衰减噪声

🔹 3. 对比分析表 ¶

噪声信道	物理过程	对密度矩阵的影响	对量子比特的作用效果
振幅衰减（$T_1$ 过程）	能量损失（$\vert 1⟩ \to \vert 0⟩$）	对角元变化（$\vert 1⟩$ 粒子数减少）	激发态弛豫，$\vert 1⟩$ 态粒子数衰减
相位衰减（$T_2$ 过程）	相位信息丢失（无能量损失）	非对角元消失	相干性丧失，粒子数分布保持不变

✅ 总结 ¶

振幅衰减（AD）：模拟“弛豫”过程（$|1⟩ \to |0⟩$），与$T_1$ 时间直接相关。
相位衰减（PD）：模拟“消相”过程（仅破坏相干性，无能量损失），与$T_2$ 时间直接相关。
在量子电路模拟中，二者均以克劳斯噪声信道形式实现，可作用于门操作后、量子比特闲置期间等任意时间节点。
在真实量子设备中，这两种过程是决定量子比特质量的核心退相干机制。

👉 补充建议 ¶

是否需要我通过布洛赫球面演化图直观展示振幅衰减与相位衰减的差异？这样可以从几何角度清晰看到：振幅衰减会使量子态向 $|0⟩$ 态靠拢，而相位衰减则会压缩布洛赫球面的赤道（相干性减弱）。

相干误差（Coherent Errors）的噪声模型 ¶

核心概念：什么是相干错误？¶

相干错误的本质是系统性的、幺正的（Unitary）偏差。它不是随机的“比特翻转”或“相位翻转”，而是量子门操作没有精确地执行我们想要的操作，而是执行了一个“略有偏差”的幺正变换。

一个很好的类比是：

非相干错误（Incoherent Errors）：像一个不熟练的厨师，有时盐放多了，有时放少了，平均下来可能还行，但每次结果都随机波动。
相干错误（Coherent Errors）：像一个刻度有偏差的勺子，每次都精确地多放（或少放）了相同量的盐。这种错误是确定性的、可累积的，并且会因为量子态的相干性而产生建设性或破坏性干涉，从而导致更糟糕的结果。

噪声模型：如何数学描述相干错误？¶

相干错误的噪声模型通常用一个“错误幺正算子” $U_e$ 来表示，它偏离了理想的门操作 $U_{\text{ideal}}$。

a. 单量子比特门模型¶

对于一个目标旋转门，例如 $R_X(\theta)$（绕X轴旋转θ角度），理想情况下它应该精确旋转θ度。

但存在相干错误时，实际的操作为： $$ U_{\text{actual}} = R_X(\theta + \epsilon) $$ 这里的 $\epsilon$ 就是一个小的、系统性的过旋转（Over-rotation）或欠旋转（Under-rotation）错误。它可能源于控制脉冲的幅度或时长校准不完美。

更一般地，错误可能不在预期的轴上。例如，我们想要一个 $R_Z(\theta)$ 门，但实际操作是： $$ U_{\text{actual}} = e^{-i(\theta/2)(\sigma_z + \epsilon_x \sigma_x + \epsilon_y \sigma_y)} $$ 这表示在Z旋转的基础上，“泄漏”了一点点X和Y方向上的微小旋转。$\epsilon_x$ 和 $\epsilon_y$ 是小的错误参数。

b. 多量子比特门模型¶

对于两量子比特门，如CNOT门或CZ门，相干错误更为复杂。

一个典型的CNOT门由受控旋转实现（例如，通过交叉共振或微波驱动）。相干错误可能包括：

控制错误：控制脉冲的强度或持续时间不准确，导致旋转角度出现偏差。
串扰（Crosstalk）：当对一对量子比特进行操作时，邻近的量子比特也会受到一个不需要的、但却是相干的弱相互作用。例如，目标是在量子比特1和2上执行CZ门，但量子比特3也可能感受到一个小的、相干的 $Z$ 作用。

一个常见的模型是让理想的幺正门 $U_{\text{ideal}}$ 乘上一个错误的幺正算子 $U_e$： $$ U_{\text{actual}} = U_e \cdot U_{\text{ideal}} $$ 其中 $U_e$ 非常接近单位算子 $I$，但包含了一些小的系统性错误。例如，对于一个 imperfect CNOT，$U_e$ 可能是一个小的两量子比特纠缠操作。

相干错误的特性与影响 ¶

可累积性（Additive）：这是相干错误最危险的特征。如果同一个错误幺正 $U_e$ 在电路中重复了N次（例如，多次使用同一个有问题的门），错误会相干地叠加，其影响随着N线性增长（$N|\epsilon|$）。相比之下，非相干错误随 $\sqrt{N}$ 增长（随机游走）。因此，对于长电路，相干错误的危害远大于非相干错误。
可能产生复杂纠缠：多量子比特门的相干错误会引入算法本不希望的额外纠缠，这些错误态与理想态相干叠加，难以通过简单的纠错码消除。
对特定输入态敏感：相干错误的影响高度依赖于输入的量子态。对于某些输入，错误可能几乎不产生影响（错误向量与理想向量正交），而对于另一些输入，错误则会被放大。

与常见非相干错误模型的对比 ¶

为了更清晰地理解，我们将其与IBM Qiskit等框架中常用的** depolarizing noise model **对比：

特性	相干错误模型	depolarizing （非相干）错误模型
数学描述	幺正变换 $U_e$	随机应用Pauli算子（$X, Y, Z$）的概率模型
本质	系统性、确定性偏差	随机、概率性扰动
行为	可累积，$N\vert \epsilon \vert $	随机游走，$\sqrt{N}$
结果	产生一个纯净但错误的量子态	产生一个混合态（经典概率混合）
例子	每次旋转都多转1度	有1%的概率发生一个比特翻转

实验中的常见来源 ¶

校准误差：标定$π$-脉冲（如X门）时，脉冲幅度或长度略有偏差。
控制线失真：控制脉冲在传输过程中发生形变，导致实际作用在量子比特上的脉冲与预期不符。
串扰（Crosstalk）：如上所述，是多量子比特系统中最主要的相干错误来源之一。
残余相互作用：本该关闭的两量子比特之间的耦合（如ZZ耦合）没有完全关闭，导致即使在空闲状态下，量子比特间也存在微弱的相干演化。

缓解策略 ¶

正因为相干错误的系统性，缓解它们也有一套不同的方法：

更好的校准：使用更精确的标定技术（如RB+， Gate Set Tomography）来精确测量和校正错误参数 $\epsilon$。
脉冲整形：设计更鲁棒的控制脉冲（如DRAG脉冲），使其对校准误差和频率失谐不那么敏感。
编译与编码：
- 随机编译（Randomized Compiling）：这是对抗相干错误的一种非常有效的技术。其核心思想是将相干的系统性错误“转换”或“稀释”成性质更好的非相干错误。通过随机地在量子电路中插入特定的单量子比特门，使得原本确定性的错误在不同的电路实例中表现得像随机错误，从而使其整体行为更像 depolarizing noise ，避免错误的线性累积。
- 动态解耦（Dynamic Decoupling）：在量子比特空闲时施加特定的脉冲序列，可以抵消环境噪声和残余相互作用带来的相干错误。
错误纠正码：虽然传统的QEC码主要针对离散的Pauli错误，但通过诸如“Twirling”之类的技术，可以将相干错误转换为可纠正的Pauli错误模型。

总结 ¶

相干错误的噪声模型是一个描述系统性、确定性操作偏差的幺正算子。它不同于基于概率的非相干模型，其最大的特点是错误的相干叠加和线性累积，这使得它对量子算法的保真度构成严重威胁。当前量子计算研究的一个重点就是如何精确地表征、建模并通过脉冲工程、随机编译等新技术来抑制这类错误。

泄漏噪声模型 ¶

在构建稳健且可扩展的量子计算机的过程中，科研人员与工程师需要应对各类“噪声”——这些非预期的相互作用会破坏量子比特脆弱的量子态。其中，最棘手的干扰类型之一可通过泄漏噪声模型（Leakage Noise Model） 来描述。该模型针对的是一种极具破坏性的误差：作为量子信息基本单位的量子比特，会从其指定的计算子空间“逃逸”，进入更高的能级。

理想状态下，量子比特处于两个态（记为$|0\rangle$和$|1\rangle$）的叠加态，这两个态共同构成计算基。然而，用于实现量子比特的物理系统（如超导电路或离子阱）并非完美的二能级系统，它们存在阶梯式的能级结构。量子比特有非零概率被意外激发到计算子空间之外的态，例如$|2\rangle$态，这种现象被称为泄漏（leakage）。泄漏噪声模型则为理解、表征并潜在缓解这类误差提供了理论框架。

泄漏的棘手之处在于，标准量子纠错码通常并非为应对它而设计。这些纠错码的核心功能是修正发生在计算子空间内的误差（如从$|0\rangle$到$|1\rangle$的比特翻转，或相位翻转）。但发生泄漏的量子比特会处于纠错码无法识别的态，这不仅会导致误差传播，还可能使整个计算过程失败。

泄漏噪声的数学表达 ¶

泄漏噪声对量子态的影响，可通过量子信道（quantum channels） 理论来描述——量子信道是一类完全正迹保持（Completely Positive Trace-Preserving, CPTP）映射，能刻画密度算符$\rho$（用于描述量子系统状态）在噪声作用下的演化规律。而表示量子信道的常用方式之一，便是借助克劳斯算符（Kraus operators）。

要对泄漏进行建模，需先扩展量子比特的希尔伯特空间，将泄漏态纳入其中。以仅含一个泄漏能级的情况为例，量子比特会被建模为“三能级量子系统（qutrit）”，其基态包括$|0\rangle$、$|1\rangle$和$|2\rangle$（其中$|2\rangle$为泄漏态）。

描述泄漏的一种简单且具代表性的模型是擦除信道（erasure channel）：量子比特有一定概率被“替换”为泄漏态。若泄漏概率为$p$，则该信道的克劳斯算符可表示为：

$$E_0 = \sqrt{1-p} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad E_1 = \sqrt{p} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

其中，$E_0$对应“量子比特保持在计算子空间”的情况（概率为$1-p$），$E_1$对应“发生泄漏”的情况（概率为$p$）。噪声作用后的系统状态$\rho'$可通过以下公式计算：

$$\rho' = E_0 \rho E_0^\dagger + E_1 \rho E_1^\dagger$$

更贴近实际的泄漏模型会考虑泄漏的相干性——即计算子空间与泄漏子空间之间存在粒子数的振荡交换。这类模型中，泄漏可通过作用于扩展希尔伯特空间的幺正演化来描述。例如，一个使$|1\rangle$态与$|2\rangle$态发生旋转的幺正算符可表示为：

$$U_{12}(\theta) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -i\sin(\theta) \\ 0 & -i\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

式中，$\theta$为旋转角，其大小取决于引发泄漏的控制脉冲的持续时间与强度。

泄漏的物理成因 ¶

泄漏的物理机制因量子计算平台的不同而存在显著差异：

在超导量子比特中，泄漏的主要来源是用于执行量子门的快速微波脉冲。超导量子比特本质上是“非简并振荡器”——相邻能级的能量间隔不相等。但这种非简并性是有限的：用于驱动$|0\rangle$与$|1\rangle$之间跃迁的快速脉冲，其频率谱线宽度较宽，可能同时激发$|1\rangle$到$|2\rangle$的跃迁，进而导致泄漏。

在离子阱量子比特中，泄漏常发生于两量子比特门操作过程中的自发散射。这类门操作通常由激光介导：激光将离子的内部电子态与集体振动态耦合。在此过程中，离子可能吸收激光光子后再自发辐射，而这一过程可能使离子跃迁至计算子空间之外的态，引发泄漏。

理解泄漏的物理成因是制定应对策略的关键。目前已有的解决方案包括：设计更精密的控制脉冲、在量子电路中加入“泄漏减少单元（leakage reduction units）”以将泄漏态拉回计算子空间，以及开发对这类噪声具有鲁棒性的新型量子纠错码。

串扰误差 ¶

非常好、非常深入的问题！将串扰（Crosstalk）纳入量子计算的经典模拟器中，是使模拟更接近真实硬件噪声的关键一步。下面我们来详细探讨串扰如何体现在经典模拟器的电路演化中。

核心思想：从孤立门到集体演化 ¶

在理想模拟中，一个量子电路是一系列门的序列，每个门都是一个作用于特定量子比特子集上的幺正矩阵。模拟器计算的是这些门的张积与态矢量的乘积： final_state = (U_n ⊗ ... ⊗ U_1) * initial_state

当引入串扰模型后，这个范式发生了根本变化：

门不再是孤立的：一个原本只应用于量子比特子集 A 的门操作，其效果会“泄漏”到物理上邻近的量子比特子集 B 上。
演化是集体的：模拟器不能再将电路简单地视为独立门的序列。它必须将整个芯片的拓扑结构和耦合关系考虑在内，计算一个作用于所有量子比特的、更大的有效门。

数学表示与模拟器实现 ¶

在模拟器中实现串扰，本质上是为每个门操作定义一个作用于整个系统的演化算子 $U_{\text{total}}(t)$，而不仅仅是一个作用于子系统的算子。以下是几种主要的实现方式：

基于哈密顿量的演化（最物理的方法）¶

这是最精确但也计算量最大的方法。模拟器不直接应用门矩阵，而是数值积分随时间变化的系统总哈密顿量。

步骤： a) 定义系统模型：模拟器需要知道： * 静态哈密顿量 $H_0$：包括所有量子比特的能隙 ($\sum_j \frac{\omega_j}{2} \sigma_Z^j$) 和固有的静态耦合（如最常见的ZZ耦合 $\sum_{j<k} \zeta_{jk} \sigma_Z^j \sigma_Z^k$）。 * 控制脉冲形状 $\Omega_j(t)$：模拟器需要知道每个门对应的微波脉冲或磁通脉冲的精确波形（幅度、频率、相位随时间的变化）。

b) 构建时间演化算子：当模拟一个在量子比特 j 上、从时间 $t_0$ 到 $t_1$ 的门操作时，系统的总哈密顿量为： $$ H_{\text{total}}(t) = H_0 + H_{\text{drive}}(t) $$ 其中驱动哈密顿量 $H_{\text{drive}}(t)$ 不仅包含目标驱动，还包含串扰驱动： $$ H_{\text{drive}}(t) = \Omega_j(t) \cos(\omega_j t + \phi_j) \sigma_X^j \quad \text{(理想驱动)} + \sum_{k \ne j} \epsilon_{jk} \Omega_j(t) \cos(\omega_j t + \phi_j) \sigma_X^k \quad \text{(串扰驱动)} $$ $\epsilon_{jk}$ 是描述从 j 到 k 的驱动泄漏强度的参数。

c) 数值求解薛定谔方程：模拟器通过数值方法（如龙格-库塔法）求解 $ i\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = H_{\text{total}}(t) |\psi(t)\rangle $，从而得到演化后的状态。

体现在模拟中：这种方法下，整个演化过程都体现了串扰。即使是一个简单的单量子比特门，其演化也会导致所有耦合到的量子比特的状态发生微小变化。

近似过程矩阵模型（更高效的方法）¶

由于全哈密顿量模拟计算成本极高（希尔伯特空间维度随量子比特数指数增长），模拟器通常采用更高效的近似模型。

思路：将一个门的整体效应（包括其对非目标量子比特的串扰）打包成一个大的量子过程（Quantum Process），用一个超算符（如克劳斯算符或过程矩阵 $\chi$）表示。

步骤： a) 预计算：在模拟开始前，根据芯片拓扑和校准数据，为每种门类型（如 X 门在Qubit 1上）预先计算一个过程 $\mathcal{E}_{X_1}$。这个过程不仅描述了Qubit 1上的 X 门，还描述了由于这个操作导致Qubit 2、Qubit 5等邻近量子比特发生的错误（相位偏移、比特翻转等）。

b) 应用过程：在模拟电路时，当遇到 X 门作用于Qubit 1，模拟器不是应用一个2x2的矩阵，而是应用这个预先计算好的、作用于所有相关量子比特的超算符 $\mathcal{E}_{X_1}$： $$ \rho_{\text{new}} = \mathcal{E}_{X_1} (\rho_{\text{old}}) $$

体现在模拟中：串扰被“编译”进了门的定义里。模拟器应用的每个门都已经是一个“不纯”的操作，自带其错误和串扰效应。

后验概率模型（简化模型）¶

这是一种非常简化的方式，适用于快速但粗略的估计。

思路：在执行一个门之后，以一定的概率随机地在受串扰影响的量子比特上应用一个错误操作。

步骤： a) 定义串扰错误率：为每一对物理上耦合的量子比特 (j, k) 定义一个错误率 $p_{jk}$。当在 j 上执行门时，有概率 $p_{jk}$ 在 k 上引发一个错误（如一个额外的 $\sigma_X$ 或 $\sigma_Z$ 旋转）。

b) 模拟流程：

# 伪代码
for gate in circuit:
    apply_ideal_gate(gate.qubits)  # 先应用理想门
    for neighbor in coupling_map[gate.qubits]: # 遍历所有邻近比特
        if np.random.rand() < p_error:         # 以一定概率
            apply_error_op(neighbor)           # 应用错误操作

体现在模拟中：串扰表现为在理想门操作之后，随机地、独立地在邻近量子比特上引入错误。这种方法丢失了串扰的相干性，但计算效率高。

总结：在经典模拟中的体现形式 ¶

特性	在经典模拟器中的体现
空间相关性	模拟器必须内置一个芯片耦合图（Coupling Map）或拓扑结构。串扰只发生在物理上相连的量子比特之间，而不是任意两个比特之间。错误是空间结构化的。
相干性	在哈密顿量模型中，串扰被完整地表现为相干的、幺正的演化。在过程矩阵模型中，相干性也被保留。在概率模型中，相干性丢失，退化为随机错误。
门类型依赖性	不同的门可能产生不同种类的串扰。例如： • 单比特门：主要通过驱动泄漏引起动态串扰。 • 两比特门：利用耦合实现，本身串扰更强，还可能调制静态ZZ耦合。 • 空闲时段：静态ZZ耦合会导致相位演化，这也是一种串扰。模拟器需要为不同门类型配置不同的串扰参数。
演化过程	模拟器不再执行简单的、分立的矩阵乘法。它要么： 1. 进行连续的数值积分（哈密顿量模型）。 2. 应用大的超算符（过程矩阵模型）。 3. 进行后验的随机抽样（概率模型）。

总而言之，在经典模拟器中体现串扰，意味着模拟器必须超越抽象的量子电路模型，引入物理硬件的空间拓扑结构和控制物理学的细节，从而使得模拟出的量子态演化更加真实，但也极大地增加了计算复杂度。选择哪种模型取决于在模拟精度和计算成本之间的权衡。

哈密顿模型计算串扰噪声的简单示例 ¶

场景设定 ¶

想象一个超导量子芯片上有两个相邻的量子比特，我们称它们为 Qubit 1 和 Qubit 2。

我们想对 Qubit 1 执行一个逻辑门操作（比如绕 X 轴旋转，一个 X 门）。
但由于两个比特物理上靠得很近，它们之间存在不需要的、残余的耦合（即串扰）。
我们的目标是：量化这个残余耦合如何破坏我们对 Qubit 1 的理想操作。

构建哈密顿量 ¶

哈密顿量（H）是描述系统能量和动力学的算符。我们分两部分来构建它：

A. 理想情况（无串扰）的哈密顿量¶

如果我们能完美地控制 Qubit 1，并且两个比特之间没有耦合，哈密顿量非常简单。当我们对 Qubit 1 施加一个微波脉冲来驱动它执行 X 门时，其哈密顿量为：

H_ideal = ħ Ω σ_x₁ ⊗ I₂

ħ: 约化普朗克常数（为了简洁，后面计算中我们常设 ħ=1）。
Ω: 驱动微波脉冲的强度（Rabi 频率），它决定了量子态旋转的快慢。
σ_x₁: 作用在 Qubit 1 上的保罗利-X 算符。σ_x 操作会翻转量子比特的状态（|0› → |1›, |1› → |0›）。
I₂: 作用在 Qubit 2 上的单位算符，表示我们对 Qubit 2 不做任何操作。
⊗: 张量积，表示我们将两个比特的算符组合在一起。

这个哈密顿量只影响 Qubit 1，Qubit 2 完全不受影响，这是我们期望的理想情况。

B. 实际情况（有串扰）的哈密顿量¶

现实中，两个比特之间存在残余的耦合。最常见的耦合形式是 “ZZ 耦合” 或 “交换耦合”。同时，我们对 Qubit 1 的驱动脉冲也可能微弱地影响到 Qubit 2（另一种形式的串扰）。因此，实际的哈密顿量变为：

H_actual = H_drive + H_crosstalk

1. 驱动项 (H_drive): H_drive = ħ Ω₁ (σ_x₁ ⊗ I₂) + ħ Ω₂ (I₁ ⊗ σ_x₂)

Ω₁: 我们意图施加在 Qubit 1 上的驱动强度。
Ω₂: 由于脉冲不完美（如频率泄露）而意外施加在 Qubit 2 上的弱驱动强度（Ω₂ << Ω₁）。这就是一种串扰。

2. 耦合项 (H_coupling): H_coupling = ħ J (σ_z₁ ⊗ σ_z₂)

J: 两个量子比特之间的残余耦合强度。
σ_z: 保罗利-Z 算符。σ_z |0› = +|0›, σ_z |1› = -|1›。ZZ 耦合意味着一个比特的能量取决于另一个比特的状态。

总的实际哈密顿量： H_actual = ħ Ω₁ (σ_x₁ ⊗ I₂) + ħ Ω₂ (I₁ ⊗ σ_x₂) + ħ J (σ_z₁ ⊗ σ_z₂)

计算过程：时间演化 ¶

量子系统的演化由时间演化算符 U(t) 描述： U(t) = exp(-i H t / ħ) 如果 H 与时间无关，这个指数映射就是系统的解。

我们的目标是：计算系统在 H_actual 作用下，经过一个理想 X 门所需时间 t_gate = π / Ω₁ 后的最终状态。

让我们做一个具体的数值假设来进行计算：

设 ħ = 1 (简化计算)。
Ω₁ = 1 (单位强度)。
理想门时间 t_gate = π (因为 Ω₁ * t_gate = π，恰好完成一个 π 旋转，即 X 门)。
串扰参数：假设 J = 0.05 (耦合强度是主驱动的 5%)，Ω₂ = 0.1 (对 Qubit 2 的意外驱动是主驱动的 10%)。

初始状态： 假设两个量子比特都处于基态：|ψ₀› = |00›

在理想情况下 (H_ideal)： 时间演化算符 U_ideal(t_gate) = exp(-i * (σ_x₁ ⊗ I₂) * π) 这个算符会完美地将 Qubit 1 翻转： |ψ_ideal› = U_ideal(t_gate) |00› = (X₁ ⊗ I₂) |00› = |10› 最终状态应为 |10›。Qubit 2 始终保持在 |0›。

在实际情况 (H_actual)： 我们需要计算 U_actual(t_gate) = exp(-i * H_actual * π)

由于 H_actual 中的各项（σ_x₁, σ_x₂, σ_z₁σ_z₂）不对易，这个指数映射的解析解非常复杂，通常需要数值计算。但我们可以通过数值对角化来理解其影响。

简化计算思路：

将哈密顿量 H_actual 表示为一个 4x4 的矩阵（因为两个比特有 4 个基态：|00›, |01›, |10›, |11›）。
对角化这个矩阵，找到它的本征值和本征矢量。
时间演化算符 U(t) 可以通过本征值和本征矢量来计算。
将初始态 |00› 用本征态展开，然后用 U(t) 作用其上，得到最终态 |ψ_actual›。

结果分析（体现串扰噪声）¶

我们比较一下理想情况和实际情况下，在 t = π 时刻的系统状态。

理想结果 (|ψ_ideal›)：
- 概率：找到 |10› 态的概率是 100%。
- 状态向量： (0, 0, 1, 0)^T （对应 |00›, |01›, |10›, |11›）
实际结果 (|ψ_actual›) （数值计算近似值）： 由于串扰（J 和 Ω₂）的存在，最终状态不会是纯的 |10› 态，而会是一个纠缠态： |ψ_actual› ≈ (0.99) * |10› + (0.01 - 0.1i) * |01› + (0.05i) * |00› + ... （数值为示意）

我们可以计算每个可能状态的概率：
- P(|10›) ≈ 0.98 (98%)
- P(|01›) ≈ 0.01 (1%) // Qubit 2 被意外翻转了！
- P(|00›) ≈ 0.0025 (0.25%) // 两个比特都没翻动
- P(|11›) ≈ 0.0075 (0.75%) // 两个比特都被翻动了

结论：串扰噪声的影响 ¶

通过这个简单的哈密顿模型计算，我们清晰地量化了串扰噪声的影响：

目标门保真度下降：我们本想将 Qubit 1 翻转到 |1›，但现在只有 ~98% 的概率成功。门的错误率高达 ~2%。
非目标比特被意外操作：Qubit 2 本应保持不变，却有 ~1% 的概率被意外翻转（|01› 态）。这是由驱动泄露 (Ω₂) 和耦合 (J) 共同造成的。
产生纠缠：实际最终态不是两个比特各自状态的简单乘积（如 |10›），而是一个复杂的纠缠态。这意味着我们对 Qubit 1 的操作结果依赖于 Qubit 2 的状态，这是量子计算中最不希望看到的一种串扰。

总结一下： 这个例子展示了如何用哈密顿量 H = H_drive + H_crosstalk 来建模一个物理系统。通过计算该哈密顿量下的时间演化，并与理想情况对比，我们能够精确地量化串扰噪声（以非理想项 J 和 Ω₂ 为表征）如何降低门保真度、破坏目标操作。在实际的量子芯片设计中，这类计算至关重要，用于指导我们如何优化比特布局、设计更聪明的脉冲序列（如DRAG脉冲）来抑制 (J) 和 (Ω₂)，从而减轻串扰。

噪声的由浅入深 ¶

当然，在量子计算的经典模拟中，噪声模型的构建是一个由浅入深、从理想化到高度复杂化的过程。这反映了我们对真实量子硬件噪声认知的逐步深入。

以下是一个从简单到复杂的噪声模型层次结构，非常适合在经典模拟器中逐步实现和实验。

层次一：基础与无噪声 (The Baseline)¶

这是所有模拟的起点，用于验证算法在理想情况下的正确性。

模型描述：完美的量子门操作、零噪声、无限长的退相干时间。所有操作都严格由幺正矩阵（如 np.kron(H, I)）表示，测量是完美的投影测量。
模拟实现：直接使用线性代数库（如 NumPy）进行矩阵向量乘法或矩阵乘法。
目的：提供一个黄金标准（Golden Standard），用以对比后续所有噪声模型带来的性能衰减。

层次二：简单离散错误模型 (Simple Discrete Error Models)¶

这是最基础、最经典的噪声抽象，易于分析和实现。

比特翻转/相位翻转噪声 (Bit-Flip/Phase-Flip Noise)
- 描述：以概率 p 在量子比特上作用一个 X 门（比特翻转）或 Z 门（相位翻转）。这是对退极化噪声的简化。
- 模拟实现：在应用一个量子门后，对每个量子比特随机采样。如果采样值小于 p，则额外应用一个 X 或 Z 门。
** depolarizing噪声 (Depolarizing Noise)**
- 描述：这是最常用的单噪声模型。它以概率 p 使量子比特完全混入最大混合态（完全随机化），或以概率 1-p 保持原状。对于单比特，其效应等价于以概率 p/3 随机应用一个 X, Y 或 Z 错误。
- 模拟实现：
  - 蒙特卡洛方法：模拟随机错误的发生。对每个门或每个时间步，随机决定是否发生错误以及发生哪种Pauli错误。
  - 全矩阵方法：直接将门的幺正矩阵 U 与 depolarizing 信道的 Kraus 算子相结合，得到一个完全正的迹 preserving（CPTP）映射，然后作用在密度矩阵上。这种方法更精确但计算量更大。
幅值阻尼和相位阻尼噪声 (Amplitude & Phase Damping Noise)
- 描述：开始引入物理动机。
  - 幅值阻尼 (T₁ 过程)：模拟量子比特通过自发发射将能量释放到环境，从 |1⟩ 态弛豫到 |0⟩ 态。由时间常数 T₁ 表征。
  - 相位阻尼 (T₂ 过程)：模拟量子比特相位信息的丢失（退相干），而不涉及能量损失。由时间常数 T₂ 表征（且通常 T₂ ≤ 2T₁）。
- 模拟实现：通常通过 Kraus 算子 形式来实现。每个噪声信道都由一组算子 {E₀, E₁, ...} 描述，系统的演化通过 ρ -> Σ_i E_i ρ E_i† 计算。这些算子可以根据门操作时间 Δt 和 T₁/T₂ 时间计算出来。

层次三：更复杂的复合与相关错误 (More Complex Composite & Correlated Errors)¶

在这个层次，噪声模型更贴近现实，考虑到了多个因素之间的相互作用。

基于门的噪声模型 (Gate-Dependent Noise)
- 描述：承认不同量子门的错误率是不同的。例如，一个复杂的双比特门（如 CNOT）的错误率远高于一个单比特门（如 H）。模拟器需要为每种类型的门配置不同的错误参数（如 p_single, p_cnot）。
- 模拟实现：在模拟线路时，根据当前正在执行的门的类型，选择对应的噪声模型（如不同的 p 值）施加到相关的量子比特上。
测量和重置噪声 (Measurement & Reset Noise)
- 描述：测量设备并不完美。
  - 测量错误：以概率 p_meas 错误地读取结果（将 0 读为 1 或将 1 读为 0）。
  - 重置错误：初始化量子比特时，无法完美地制备到 |0⟩ 态，而是以某个概率制备到 |1⟩ 态。
- 模拟实现：在测量操作时，根据定义的读错概率，对测量结果进行随机翻转。在重置操作时，以一定概率将量子态设置为 |1⟩ 而非 |0⟩。
时空相关的错误 (Spacetime Correlated Errors)
- 描述：这是迈向高保真度模拟的关键一步。错误不再是独立发生在每个门或每个比特上。
  - 空间相关错误：一个噪声事件同时影响多个量子比特。例如，控制线上的波动可能同时影响多个共享相同控制线的量子比特，导致一个 I⊗X 或 X⊗X 类型的错误，而不是独立的 I⊗X 和 X⊗I。
  - 时间相关错误：错误不是瞬时的白噪声，而是具有时间关联性（如 1/f 噪声）。这意味着连续的操作更可能遇到相同方向的错误。
- 模拟实现：复杂度急剧上升。需要构建更复杂的错误发生器和信道模型。例如，不再对每个比特独立采样，而是对一个可能影响多个比特的“错误事件”进行采样。

层次四：连续时间与哈密顿量噪声 (Continuous-Time & Hamiltonian Noise)¶

这是最高保真度的模拟层次，试图直接模拟噪声的物理源头。

自定义哈密顿量中的噪声项
- 描述：不将噪声视为离散的“错误”，而是在系统的总哈密顿量 H_total 中加入代表噪声的项。例如：H_total = H_ideal + H_noise。H_noise 可以模拟控制脉冲的幅度噪声、失谐噪声、串扰等。
- 模拟实现：需要数值求解含时薛定谔方程或 Lindblad 主方程。这通常通过 “脉冲级”模拟 来实现，即模拟真实的控制脉冲形状（如 Gaussian脉冲），而非抽象的“量子门”。
非马尔可夫噪声 (Non-Markovian Noise)
- 描述：前述所有模型大多属于“马尔可夫”噪声，即环境没有记忆性，噪声是无关联的。而非马尔可夫噪声认为环境有记忆，过去的错误会影响未来的错误。这能捕捉更复杂的物理效应，如窄带环境噪声。
- 模拟实现：极其复杂和消耗算力。方法包括：
  - 层级纯化方程 (Hierarchical Equations of Motion, HEOM)：非常精确但计算成本极高。
  - 时间相关的 Lindblad 方程。
  - 用多个量子比特来模拟一个具有记忆性的环境。

总结与建议 ¶

层次	模型类型	复杂度	物理保真度	关键参数
1	无噪声	低	无	无
2	离散错误	中低	低	`p`, `T₁`, `T₂`
3	复合与相关错误	中高	中	门依赖错误率、相关错误强度
4	连续与非马尔可夫	极高	高	哈密顿量噪声项、光谱密度

实践建议：

入门：从层次2的 depolarizing 噪声 和 幅值/相位阻尼 模型开始。它们是大多数量子计算错误缓解研究的基准模型。
进阶：实现 门依赖噪声 和 测量错误。这是当前许多量子计算框架（如 Qiskit, Cirq）的默认噪声模型方式。
深入研究：尝试实现简单的 空间相关错误（例如，对相邻的两个比特施加一个相同的随机 Pauli 错误）。
高保真仿真：只有在有非常具体的物理系统需要研究时（如模拟特定超导量子芯片的串扰），才需要考虑层次4的模型，因为这通常需要自定义数值求解微分方程。

通过这个由浅入深的路径，你可以逐步在经典模拟器中构建出越来越真实的噪声环境，从而更好地理解和预测量子算法在现有嘈杂量子设备（NISQ设备）上的表现。

qibo噪声模型 ¶

根据测试文件，Qibo支持以下噪声模型：

KrausError - 通过Kraus算子描述的一般量子噪声
UnitaryError - 幺正噪声通道
PauliError - Pauli噪声(X,Y,Z)错误
DepolarizingError - 去极化噪声
ThermalRelaxationError - 热弛豫噪声
AmplitudeDampingError - 振幅阻尼噪声
PhaseDampingError - 相位阻尼噪声
ReadoutError - 读取噪声
ResetError - 重置噪声
CustomError - 自定义噪声通道

这些噪声模型都在测试文件中有对应的测试用例。每个噪声模型都可以通过NoiseModel类添加到量子电路中的特定门或所有门上。

文件位置：test_noise.py

此外，Qibo还提供了IBMQNoiseModel类，这是一个专门用于模拟IBM量子计算机噪声特性的噪声模型，包含了：

单比特和两比特门的去极化噪声
热弛豫噪声(T1和T2过程)
读取噪声
激发态布居数噪声

这些噪声模型都支持密度矩阵模拟，部分模型(如热弛豫、读取错误等)不支持态矢量模拟。

示例（Qiskit Aer 代码）¶

示例（Qiskit Aer 代码）¶

a. 单量子比特门模型¶

b. 多量子比特门模型¶

基于哈密顿量的演化（最物理的方法）¶

近似过程矩阵模型（更高效的方法）¶

后验概率模型（简化模型）¶

A. 理想情况（无串扰）的哈密顿量¶

B. 实际情况（有串扰）的哈密顿量¶

a) 非马尔可夫主方程¶

b) 随机哈密顿量方法（更直观的模型）¶